823
w
Wn-4=An(a+i) ea in 'fc algemeen:
w n m
uit welke laatste formule de stelling kan worden afgeleid
Indien met eene willekeurige opzethoogte het eerste schot -f- ofge
vallen is, dan verhouden zich de kansendat men in een groep van
n schoten resp. a en h schoten -{- ofzal krijgen, als a en h.
Doet men nu n maal een groep van n (n -j- 1) schoten, dan zal
men in 't algemeen moeten verwachten, dat het n maal zal voorkomen,
dat er n schoten -j- vallen, (n1) maal, dat er (n1) -f- zullen zijn, enz.
In 't geheel moet men dus op n2 (n -\- 1) schoten, er n 2 -f- (nl)2
-f- (n 2)2 -|32 2^ f- l2, verwachten.
Nu is n2 -j- (nl)2 22 -j- 12 n (n -j- 1) (2 n -f- 1)>
(de bekende formule voor den vierkanten kogelstapel).
De verhouding van het aantal -}- schoten tot het totale aantal scho
ten is derhalve:
Stelt men in deze uitkomst n oo, dan wordt de verhouding tus-
schen het aantal -f- schoten tot het totale aantal schoten gelijk aan
de kans voor het vallen van eenig schot en heeft men:
W voorn oo
en men ziet, dat deze kans gelijk is aan de kans, dat het 2de schot -\-
zal vallen.
Dit kon ook niet anders zijn, want de kans, dat na «proefnemin
gen eenig verschijnsel zich zal voordoen, is niets anders dan cle kans
van het verschijnsel zelf, voor zooverre men daarover uit die n voor
afgaande proeven kan oordeelen. De uitkomst door de hier gehouden
berekening verkregen, moet dus overeenstemmen met die door de
formule geleverd, en zij doet dit dan ook werkelijk.
Veronderstellen wij thans, dat de eerste twee schoten -j- zijn
gevallen, dan is de kans, dat men in een groep van n schoten, alle
schoten -f- zal krijgen, gelijk aan
n 3 i n (n 1)
n
n m n (n 1)
n (n+1) (2 n+ 1) 2 n 1
1/2 n2 (n 1) 3 n
-ijx 2 n 1
3 n 3
yg _S j>P 3 n (n 1)
n 4 5 6 n -|- 1 n+1 1 /a (n 1) n (n 2)
