215
Om deze kana te berekenen zullen wij trachten eene algemeene
formule op te sporen, die aangeeft hoe groot de waarschijnlijkheid is, dat
in zoodanig geval de kans voor een plus- of minschot eene willekeurige
waarde x heeft. Dit nu kan op de volgende wijze geschieden.
Indien de kans voor een minschot met k, gelijk is aan x, dan is
met dezelfde opzethoogte de kans voor een plusschot =1 x. De
kans echter om met g een plusschot te krijgen zal altijd grooter zijn
en kan derhalve gelijk gesteld worden aan 1 x -f pals wanneer
p een positief getal voorstelt tusschen 0 en 1afhankelijk van de
grootte der nauwe grens.
Verder is de kans a priori, dat een minschot met Jc de waar
schijnlijkheid x zal hebben, gelijk aan dx.
Het verschijnsel, dat de schoten der nauwe grens zullen vallen op
de wijze als hier is verondersteld, bestaat uit drie andere, die onder
ling onafhankelijk zijn, namelijk, dat een minschot met Jc de waar
schijnlijkheid x zal hebben, dat een schot met Jc vóór en dat een
schot met g achter zal vallen. De waarschijnlijkheid a priori, dat
het geheele verschijnsel zal plaats hebben, is gelijk aan het product
der kansen a priori, dat deze drie laatstgenoemde verschijn
selen zich zullen voordoen en kan dus voorgesteld worden door
x (1 x -j- p) dx.
Volgens het theorema van Bayes nu, is de kans van eene bepaalde
oorzaak (hier: dat het gemiddeld trefpunt behoorende bij Jc zoodanig
is gelegen, dat een minschot met die opzethoogte de waarschijnlijkheid
x heeft) gelijk aan de kans a priori, die het waargenomen verschijnsel
met betrekking tot die oorzaak heeft (hier: dat de schoten der nauwe
grens op de vooromschreven wijze zijn gevallen) gedeeld door alle
zoodanige kansen, met betrekking tot alle oorzaken. Hieruit volgt:
W *(1 P~X)dx
in welken vorm enkel nog de integraalgrenzen a en b bepaald
moeten worden.
De ligging van het gemiddeld trefpunt van Jc kan zoodanig zijn,
dat er zekerheid bestaat, dat men een minschot zal krijgen, in welk
geval x 1 is. Daar eene grootere waarde van x onmogelijk is,
heeft men alzoo: b 1.
X x (1 p x) dx
