123
schatting begaat, steeds zal zij eene eindige waarde hebben. Het
gemiddelde trefpunt der gekozen opzethoogte kan namelijk nooit
op oneindig verren afstand vóór of achter het doel liggen en de
kans van een of schot kan dus, hoe klein ook, nooit
absoluut nul zijn.
Steeds zal die kans theoretisch eene eindige waarde hebben.
Daaruit volgt:
F 0- 0, en
F 10.
F xheeft alzoo een maximum voor x 1/2 en neemt gelei
delijk naar weerszijden af om voor x 0 en 1 gelijk aan 0 te
worden. Daaruit volgt, dat F (x) voor alle waarden vana;tus-
schen 0 en 1 positief moet zijn en slechts één maximum mag
hebben.
Eindelijk moet F xten opzichte van 1 /2 eene symmetrieke
functie zijn. Daar de gekozen opzethoogte volgens de grond
begrippen der foutentheorie de waarschijnlijkste is en eene fout
in 't meerdere evenveel kans heeft, als eene van gelijke grootte
in het mindere, zoo bestaat er evenveel kans, dat het gemid
delde trefpunt op een zekeren afstand vóór, als op een gelijken
afstand achter het doel zal liggen.
Daaruit volgt: F (1/2 p) F 1/2—p
Uit de laatste voorwaarde volgt terstond, dat F (x) in eene
reeks ontwikkeld moet kunnen worden, waarvan alle termen
aan dezelfde voorwaarde voldoen. Om zulks door een voorbeeld
toe te lichten, zullen wij eene andere functie, namelijk cos be
schouwen, die in gelijksoortige conditiën verkeert.
Deze functie is voor 0 een maximum en tevens ten opzichte
van 0 symmetriek, zoodat cos y gelijk is aan cos Ten op
zichte van 0 verkeert deze functie dus in dezelfde voorwaarden,
als de gezochte ten opzichte van 5. Uit de eigenschap nu:
cos f cos r) volgt terstond, dat cos f in eene reeks ontwik
keld moet kunnen worden van den vorm: cos? A B?2-\- C(?2)3
D {f2)3 enz, of cos <p A-\-Br2 C?4-\-D r6 4- enz, aan
gezien y2 de eenvoudigste functie is, die aan de voorwaarde
voldoet, dat f is
Oneven machten van f mogen in deze reeksontwikkeling niet
voorkomen, daar anders cos niet gelijk zou kunnen zijn aan
