125
xa (1 x)x dx
(52)
x* (1-xf' dx
Vergelijken wij deze formule met formule (3), dan zien wij eene
volmaakte overeenstemming; terwijl echter (3) slechts geldt, als
a en b geheele getallen zijn, gaat (52) ook voor gebroken en
negatieve waarden van door.
De gevonden benaderingsformule is derhalve mathematisch
juist, als de exponenten van x en 1 x geheele positieve ge
tallen zijnzij omvat m.a.w. al de gevallen, waarin eene zuivere
wiskundige behandeling mogelijk is. Zij voldoet daardoor, even
als (25) en (37) aan de voornaamste voorwaarde, die men aan eene
deugdelijke benaderingsformule stellen moet.
We behoeven dus alleen nog maar te onderzoeken, of zij, voor
't geval een gebroken getal is, voldoend nauwkeurige uitkom
sten oplevert. Indien evenwel een gebroken getal voorstelt,- is
de differentiaalvorm xx l-x)a dx niet integrabel. Hoewel de afge
leide benaderingsformhle daardoor schijnbaar onbruikbaar wordt,
zoo is dit toch niet het geval, aangezien men in verreweg de meeste
gevallen de waarde dezer integraal slechts tusschen 1 en 0 be
hoeft te kennen, en deze waarden, zooals nader zal blijken, steeds
op eenvoudige wijze kunnen worden bepaald.
Voor een en ander dient men echter bekend te zijn met de
eenvoudigste eigenschappen der Eulersche integralen, weshalve
wij daaromtrent hier datgene moeten laten volgen, wat tot goed
begrip van de zaak onmisbaar is.
Eulersche integralen van de eerste soort.
Deze integraal heeft den algemeenen vorm van:
Zij wordt gewoonlijk de bétafunctie genoemd en aangeduid door
de notatie B p q.) Zij is eene symmetrieke functie van p en q,
want als men x l—y stelt, komt er
X?-1 1 x)^1 dx.
B (p,g)
