genoemde formule af. De oorlogsjaren bezorgen hem het Legioen
van Eer (1870) en den kapiteinsrang (1871). „Ayant payé sa dette
a son pays, Halphen revient a la Science: en 1872 il est nommé
répétiteur a l'Ecole".
Naar aanleiding van zijn gedrag bij St. Quentin wordt Halphen
speciaal geprezen in het rapport van generaal Faidherbe. De
bekende mathematicus Charles Hermite merkt naar aanleiding
daarvan op:
„Halphen, Faidherbe, après tant d'autres, ont été fidèles a la
double mission de l'Ecole Polytechnique et ont continué ses glo-
rieuses traditions. N'y a-t-il pas effectivement, dans les habitudes
de l'intelligence, dans cette nature particulière que crée l'enseige-
ment de notre grande Ecole, une liaison normale, une concordance
avee les qualités du soldat? Une rigoureuse discipline de l'esprit
prépare aux devoirs militaires, et l'on ne peut douter que les
études mathématiques contribuent a former cette faculté d'ab-
straction indispensable au chef pour se faire une représentation
inférieure, une image de Taction par laquelle il se dirige, en
oubliant le danger, dans le tumulte et l'obscurité du combat".
Halphen heeft door zijn onderzoekingen veel bijgedragen tot de
verrijking van de karakteristiekentheorie van Chasles, welke
aanleiding heeft gegeven tot een nieuwen tak van meetkunde, de
meetkunde van het aantal. Het daaraan ten grondslag liggende
principe van het behoud van het aantal is te beschouwen als een
andere formuleering van het continuïteitsbeginsel van Poncelet.
Dat principe houdt in, „dat wanneer men in een vergelijking
met één onbekende de coëfficiënten geleidelijk laat veranderen,
de graad, en dus het aantal wortels, hetzelfde blijft, zelfs indien
twee of meer van deze wortels samenvallen, mits men in dit laatste
geval de multipliciteit van den meervoudigen wortel behoorlijk in
rekening brengt." 1)
Uit het jaar 1876 dateert een naar Halphen genoemde stelling uit
de differentiaalmeetkunde der gebogen oppervlakken. In 1878
schrijft hij, aanknoopend aan de onderzoekingen van Laguerre,
een proefschrift over differentiaalinvarianten. In 1880 wordt zijn
beantwoording van een door de „Académie des Sciences" uitge
schreven prijsvraag bekroond. Zijn werk draagt tot titel: „La
réduction des équations linéaires aux formes intégrables".
De Berlijnsche Academie begiftigt hem in 1882 met den Steiner-
prijs voor een studie over algebraïsche ruimtekrommen, terwijl hij
in 188'8 tot lid van de „Académie des Sciences" wordt benoemd.
Halphen treedt in dat jaar weer in actieven militairen dienst als
majoor bij het 11de regiment te Versailles en verzoekt bij het
Parijsche garnizoen ingedeeld te worden om de zittingen van de
Hk. de Vries: „De Meetkunde van het Aantal". (Christiaan Huygens,
jaargang 19331934, blz. 32).
689
